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Le calcul mental à l’école élémentaire

samedi 9 septembre 2017, par classedu

Introduction

Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper la place principale à l’école élémentaire et faire l’objet d’une pratique régulière, dès le cycle 2. Une bonne maîtrise de celui-ci est indispensable pour les besoins de la vie quotidienne (que ce soit pour obtenir un résultat exact ou pour évaluer un ordre de grandeur). Elle est nécessaire également à une bonne compréhension de certaines notions mathématiques (traitements relatifs à la proportionnalité, compréhension du calcul sur les nombres relatifs ou sur les fractions au collège…). Et surtout, une pratique régulière du calcul mental réfléchi permet de familiariser les élèves avec les nombres et d’approcher (en situation) certaines propriétés des opérations (cf. les différentes méthodes utilisables pour calculer 37 + 18 ou 25 x 16). Dans ce domaine particulièrement, il convient de distinguer ce qu’il faut mémoriser ou automatiser (les tables, quelques doubles et moitiés, le calcul sur les dizaines et les centaines entières, les compléments à la dizaine supérieure…) et ce qu’il faut être capable de reconstruire (et qui relève du calcul réfléchi : idée de rendre plus simple un calcul, souvent en procédant par étapes plus nombreuses, mais en s’appuyant sur ce qui est connu). L’exploitation des diverses procédures mises en œuvre par les élèves pour un même calcul permet de mettre l’accent sur les raisonnements mobilisés et sur les propriétés des nombres et des opérations utilisées “ en acte ” (certains parlent d’ailleurs à ce sujet de calcul raisonné).

Calcul mental, calcul pensé, calcul réfléchi

Les termes, d’une époque à une autre ont quelque peu varié. En première approximation, on peut être tenté d’opposer le calcul mental au calcul écrit ou instrumenté. Mais parler de calcul mental ne signifie pas que tout se passe sans écrire. Ce qu’on désigne sous le terme de calcul écrit (“l’opération posée”) requiert la connaissance des tables et la gestion des retenues, donc du calcul mental. Il ne dispense donc pas de calculer mentalement, bien au contraire ; la technique écrite française traditionnelle de la division, avec ou sans les soustractions intermédiaires requiert de nombreux traitements mentaux. Le déficit de maîtrise du calcul mental fragilise gravement l’apprentissage des techniques écrites. Par ailleurs, l’expérience atteste, depuis des dizaines d’années, que les enfants ont souvent tendance à calculer mentalement en appliquant les algorithmes écrits. Ceci est dû très probablement à un établissement insuffisant du calcul mental préalablement à l’apprentissage des techniques écrites qui sont souvent abordées trop tôt et, par la suite, à une prise de conscience insuffisante des différences de traitement entre calcul écrit et calcul mental. Calculer mentalement 127 + 16 en référence à la technique écrite est plus coûteux en terme de charge mentale de travail que d’ajouter successivement 10 et 6. Il importe clairement que les techniques écrites s’appuient sur une pratique du calcul mental déjà bien installée.

Les différentes fonctions du calcul mental

Au-delà de vertus traditionnellement évoquées (“gymnastique intellectuelle”, “adresse de l’esprit” et même “formation du caractère”, ou plus précisément “développement de l’attention et de la mémoire”), la pratique du calcul mental a une double fonction, sociale et pédagogique. Le calcul mental a une fonction sociale : il est d’abord un calcul d’usage. Il s’agit de mettre en place des moyens efficaces de calculer, utiles dans la vie courante, en l’absence de supports ou d’instruments. Même si l’usage de la calculette est de plus en plus répandu, il demeure nécessaire de savoir calculer sans elle, ou, à tout le moins, de pouvoir effectuer un calcul approché. C’est là d’ailleurs un moyen efficace de contrôle, une erreur de manipulation étant toujours possible. Enfin, comme cela a déjà été souligné, sans disponibilité rapide des résultats des tables, il n’y a pas d’accès possible aux techniques opératoires : n’oublions pas que, dans le cas de la multiplication, à l’entrée en sixième les erreurs de table sont plus fréquentes que celles qui sont dues une mauvaise maîtrise de l’algorithme de calcul. Dans cette perspective, trois types d’objectifs peuvent être distingués :

- l’automatisation des calculs simples, orientée vers la production de résultats immédiatement disponibles : récupération en mémoire ou reconstruction instantanée, procédures automatisées ;
- la diversification des stratégies de calcul complexe : calcul réfléchi ou raisonné ;
- une première maîtrise du calcul approché, souvent utilisé dans la vie courante et dont l’apprentissage doit se poursuivre au collège. Le calcul mental a également une fonction pédagogique. Dans les apprentissages mathématiques, il joue un rôle important pour la compréhension et la maîtrise des notions enseignées. Cinq pistes peuvent être distinguées :
- le calcul mental permet aux élèves de construire et de renforcer leurs premières connaissances relatives à la structuration arithmétique des nombres entiers naturels (relations additives ou multiplicatives entre les nombres) ;
- la pratique du calcul réfléchi s’appuie, le plus souvent implicitement, sur les propriétés des opérations et, en retour, en assure une première compréhension ;
- les premiers maniements des notions mathématiques (ceux qui en permettent la compréhension initiale) sont le plus souvent fondés sur le recours au calcul mental. Que l’on pense aux situations de proportionnalité ou aux travaux sur les fractions à l’école primaire ou, plus tard, aux calculs sur les nombres relatifs ou au calcul algébrique : pour l’essentiel, les compétences des élèves se construisent dans un domaine numérique où domine le calcul mental ;
- le calcul réfléchi nécessite l’élaboration de procédures originales et, par là, contribue au développement des capacités de raisonnement des élèves (d’où l’expression de calcul raisonné) ;
- le calcul mental apporte souvent une aide à la résolution de problèmes, en permettant de ramener un problème à un champ numérique dans lequel les opérations deviennent plus familières : essayer avec des nombres plus petits permet, par exemple, d’avoir une intuition d’un mode de traitement possible.

A quels moments le calcul mental a-t-il sa place en classe et sous quelles formes ?

Le calcul mental est d’abord un moyen efficace de calculer. C’est donc intégré aux autres activités que le calcul mental doit d’abord vivre dans la classe. Son intérêt pratique majeur réside dans son utilité pour la vie quotidienne, dans la mesure où il suffit souvent pour prendre une décision et permet d’autre part de contrôler les un résultat affirmé par une autre personne ou obtenu à l’aide d’une machine. Il doit être encouragé chez les élèves, par une forme d’imprégnation, dans toutes les activités relevant des mathématiques ou d’autres disciplines, dès lors qu’il permet de répondre plus rapidement et aussi efficacement qu’en posant les opérations ou qu’en utilisant la calculatrice. Il peut, ainsi, être utilisé dans différentes activités fonctionnelles : déplacement en autobus, éducation physique, consultation d’un calendrier, d’un catalogue ou d’un horaire, etc.

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